3. 指數(shù)分布

　　用以下指數(shù)函數(shù)

　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布。其中的 稱為指數(shù)分布函數(shù)的參數(shù)，常記為 。其概率密度函數(shù)的圖形如圖1.2-27所示。

　　事件 "X在區(qū)間 (a, b)上取值"的概率為圖1.2-27上陰影的面積，它的計(jì)算公式為:

　　指數(shù)分布的參數(shù) 的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

　　[例1.2-17] 某種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間T(單位：小時(shí))服從參數(shù) =0.002的指數(shù)分布，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為：

　　則該種熱水器在300到500小時(shí)內(nèi)需要維修的概率為：

　　該種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間的均值與方差分別為:

　　現(xiàn)將上述常用分布總結(jié)在表1.2-1

　　常用分布表

　　五、中心極限定理

　　中心極限定理敘述了統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要結(jié)論:多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值 (仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)服從或近似服從正態(tài)分布。為介紹這個(gè)定理先要作一項(xiàng)準(zhǔn)備。

　　(一) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性

　　兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立是指其中一個(gè)的取值不影響另一個(gè)的取值，或者說是指兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立地取值。比如，拋兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為X1與X2，則X1與X2是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

　　隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量上去。

　　以下要用到一個(gè)假定:" 幾是n個(gè)相互獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量"。這個(gè)假定有兩個(gè)含義:

　　(1) 是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，如在生產(chǎn)線上隨機(jī)取n個(gè)產(chǎn)品，它們的質(zhì)量特性用 表示，那么可認(rèn)為 是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

　　(2) 有相同的分布，且分布中所含的參數(shù)也都相同，比如，都為正態(tài)分布，且都有相同均值 和相同方差 。又如，若都為指數(shù)分布，那么其中的參數(shù) 也都相同。

　　今后，把n個(gè)相互獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量 的均值稱為樣本均值，并記為 ，即:

　　(二)正態(tài)樣本均值的分布

　　定理1 設(shè) 是n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，假如其共同分布為正態(tài)分布 ，則樣本均值 仍為正態(tài)分布，其均值不變?nèi)詾?，方差 。

　　這個(gè)定理表明:在定理1的條件下，正態(tài)樣本均值 服從正態(tài)分布 。

　　[例1.2-18] 設(shè) 是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，共同分布為正態(tài)分布N(10，52)，則其樣本均值:

　　服從 。這表明: 的均值仍為10， 方差為25/9=2.78， 的標(biāo)準(zhǔn)差為：